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Nachbildung von Impuls- oder Sprungantwort

Sprunginvarianter Entwurf zeitdiskreter Systeme

Eine weitere Möglichkeit der zeitdiskreten Implementierung zeitkontinuierlicher Systeme ergibt sich aus dem Ziel, die Sprungantwort nachzubilden. Ausgangspunkt für die Herleitung ist wieder die Darstellung der Übertragungsfunktion in Partialbrüchen. Wieder wird zur Vereinfachung angenommen, dass sie einfache reelle Pole und konjugiert komplexe Polpaare besitzen.

(9.12)

Die Sprungantwort hat damit die Laplace-Transformierte

(9.13)

Damit lautet die Sprungantwort im Zeitbereich

(9.14)

An den Zeitpunkten k⋅TA liegen die Werte

(9.15)

vor. Damit lautet die Sprungantwort des zeitdiskret nachzubildenden Systems

(9.16)

Die Sprungantwort hat die z-Transformierte

(9.17)

Aus ihr ergibt sich die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems zu

(9.18)

Diese Übertragungsfunktion hat einen Konvergenzbereich von

(9.19)

Da die Polstellen αn zu einem stabilen zeitkontinuierlichen System gehören, liegen sie in der negativen Halbebene. Damit liegen die Pole der Übertragungsfunktion G(z) innerhalb des Einheitskreises. Beim sprunginvarianten Entwurf bleiben stabile Systeme demnach stabil.

Beispiel: Sprunginvarianter Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung

Der sprunginvariante Entwurf wird ebenfalls an einem Tiefpass erster Ordnung durchgeführt.

(9.20)

Mit dem Pol α = - ωG ergibt sich beim sprunginvarianten Entwurf die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems zu

(9.21)

Bild 9.1 vergleicht das zeitkontinuierliche und das zeitdiskrete System im Zeitbereich für T = 5 und TA = 1.

Bild 9.4: Vergleich der Impuls- und Sprungantworten von zeitdiskretem und zeitkontinuierlichem System

Im Gegensatz zum impulsinvarianten Entwurf stimmen beim sprunginvarianten Entwurf die Sprungantworten überein.

Das Vorgehen zum sprunginvarianten Entwurf zeitdiskreter Systeme ist in Tabelle 9.2 zusammengefasst.

 

Tabelle 9.2: Vorgehen zum sprunginvarianten Entwurf zeitdiskreter Systeme bei einfachen Polen αn ≠ 0

Schritt Beschreibung
1 Entwurf eines zeitkontinuierlichen Systems G(s)
2 Darstellung des Systems als Summe von Partialbrüchen
3 Zeitdiskretes System besitzt die Übertragungsfunktion G(z)
4 Aufstellen der Differenzengleichung durch Rücktransformation der Gleichung G(z) in den Zeitbereich
5 Auflösen der Differenzengleichung nach y[k]

 

Das Verfahren wird auch als Zero-Order-Hold-Equivalence bezeichnet. Die Bezeichnung ergibt sich aus dem Ansatz, ein zeitkontinuierliches System G(s) mit zeitdiskreter Ansteuerung u[k] zeitdiskret zu simulieren. Bild 9.5 stellt den Signalfluss dar.

Bild 9.5: Strecken-Diskretisierung mit einem Zero-Order-Hold-Glied und einer idealen Abtastung

Die Werte der Signalfolge u[k] werden als Gewichte der Impulse eines ideal abgetasteten Signals uA(t) interpretiert.

(9.22)

Um aus dem zeitdiskreten Wert ein zeitkontinuierliches Signal zu bekommen, wird das Signal konstant gehalten, bis der nächste Abtastwert vorliegt. Dieser Vorgang wird mit einem Zero-Order-Hold-Glied modelliert, das Ausgangssignal des Zero-Order-Hold-Glieds wird als uH(t) bezeichnet.

(9.23)

Im Laplace-Bereich hat das Halteglied die Übertragungsfunktion

(9.24)

Das zeitkontinuierliche Signal uH(t) ist das Eingangssignal des zeitkontinuierlichen Systems mit der Übertragungsfunktion G(s). Das entsprechende Ausgangssignal y(t) wird ideal abgetastet. Es entsteht die Abtastfolge y[k]. Die dabei entstehende Übertragungsfunktion G(z) der abgetasteten Strecke berechnet sich zu

(9.25)

Umformen führt zu

(9.26)

beziehungsweise

(9.27)

Die Sprungantworten stimmen damit an den Abtastzeitpunkten überein, es handelt sich um einen sprunginvarianten Entwurf.