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Übungsaufgaben – Zeitdiskrete Approximation zeitkontinuierlicher Systeme

Sprunginvarianter Systementwurf

Ein System mit der Übertragungsfunktion

soll als zeitdiskretes Filter implementiert werden, dessen Sprungantwort h[k] an den Stellen k⋅TA dieselben Zahlenwerte aufweist wie die Sprungantwort h(t) des analogen Systems. Das zeitdiskrete System arbeitet mit einer Abtastzeit TA = 1. Da die Sprungantworten der beiden Filter an den Stellen k⋅TA exakt übereinstimmen sollen, muss der Filterentwurf durch Abtasten der Sprungantwort erfolgen.

  1. Geben Sie die Sprungantwort h(t) des zeitkontinuierlichen Filters mit der Übertragungsfunktion G(s) an.

  2. Stellen Sie die Sprungantwort h[k] des Filters als Gleichung dar, der an den Stellen k⋅TA dieselben Zahlenwerte aufweist wie die Sprungantwort h(t) des analogen Systems.

  3. Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) des entsprechenden zeitdiskreten Systems?

  4. Berechnen Sie die Impulsantworten g(t) und g[k] der beiden Filter. Skizzieren Sie das Ergebnis.

  5. Warum können die Impulsantworten g(t) und g[k] oder die Sprungantworten h(t) und h[k] übereinstimmen, nicht beide gleichzeitig?