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Tiefpass-Filterentwurf über bilineare Transformation

Ein analoges Filter mit der Übertragungsfunktion

soll mithilfe der bilinearen Transformation in ein zeitdiskretes Tiefpass-Filter überführt werden. Die 3dB-Grenzfrequenz des zeitdiskreten Tiefpasses soll ωG = 0.4996 Hz sein. Die Abtastfrequenz ist ωA = 2∙π∙5 Hz.

  1. Welche Grenzfrequenz und welche Zeitkonstante muss das analoge Filter besitzen?

  2. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(z) des zeitdiskreten Tiefpasses.

  3. Bestimmen Sie eine Differenzengleichung zur Realisierung des zeitdiskreten Tiefpasses. Stellen Sie die Differenzengleichung so um, dass sich auf der linken Seite lediglich der aktuelle Wert des Ausgangssignals y[k] befindet.

  4. Berechnen Sie den Amplitudengang des zeitdiskreten Filters. Welchen Wert nimmt der Amplitudengang an der Stelle ωG = 0.4996 Hz an?