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Zeitdiskrete Approximation zeitkontinuierlicher Systeme mit MATLAB

Symbolische Berechnung

In Teil A dieser Buchreihe wird dargestellt, wie die Laplace-Transformierte und die inverse Laplace-Transformierte symbolisch berechnet werden können. Die dazu notwendigen Befehle sind in Tabelle 9.6 zusammen mit den vergleichbaren Befehlen zur z-Transformation nochmals zusammengefasst.

Tabelle 9.6: Befehle zur Laplace- und inversen Laplace-Transformation

Befehl Beschreibung
X = laplace(x,t,s) Laplace-Transformation der symbolisch definierten Funktion x(t) in den Laplace-Bereich mit der Variable s
x = ilaplace(X,s,t) Inverse Laplace-Transformation der symbolisch definierten Laplace-Transformierten X mit der Variable s in den Zeitbereich t
X = ztrans(x,k,z) z-Transformation der symbolisch definierten Folge x mit dem Folgenindex k in den z-Bereich mit der Variable z
x = iztrans(X,z,k) Inverse z-Transformation der symbolisch definierten z-Transformierten X mit der Variable z in den Zeitbereich mit dem Folgenindex k
subs(x,t,k⋅TA) In dem Ausdruck x wird die Variable t durch den Ausdruck k⋅TA substituiert, x, t, k und TA müssen dabei als symbolische Variable beziehungsweise als symbolischer Ausdruck definiert sein

 

Der impulsinvariante Entwurf kann mithilfe dieser MATLAB-Befehle symbolisch berechnet werden. Ausgehend von der Laplace-Transformierten G(s) wird zunächst die zugehörige Zeitfunktion g(t) berechnet. Aus der Beziehung

(9.86)

ergibt sich die zeitdiskrete Impulsantwort g[k], die in den z-Bereich transformiert wird.

Beispiel: Impulsinvarianter Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung

Um das Verfahren zu verdeutlichen, wird es an dem Tiefpass erster Ordnung aus Gleichung (9.7) angewendet. Das Übertragungsglied besitzt die Übertragungsfunktion

(9.87)

Für den impulsinvarianten Entwurf wird folgender MATLAB-Befehlssequenz ausgeführt.

 

 

Erwartungsgemäß ergibt sich dieselbe z-Transformierte wie in bei der analytischen Rechnung in < a href="http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/zeitdiskrete-approximation-zeitkontinuierlicher-systeme/nachbildung-von-impuls-oder-sprungantwort/impulsinvarianter-entwurf-zeitdiskreter-systeme.html"> Abschnitt 9.1.1 Impulsinvarianter Entwurf zeitdiskreter Systeme.

(9.88)

Dieser Ansatz kann sinngemäß auch bei allen anderen Verfahren eingesetzt werden, bei denen eine zeitdiskrete Signalfolge x[k] ein zeitkontinuierliches Signal x(t) nachbilden soll.