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Folgen zur Beschreibung von zeitdiskreten Einschwingvorgängen

Ausgangssignale zeitdiskreter Systeme lassen sich vielfach mit Hilfe von harmonischen Folgen und Exponentialfolgen beschreiben. Sie werden im Folgenden vorgestellt.

Periodische und harmonische Folgen

Periodische Folgen sind dadurch gekennzeichnet, dass sich der Folgenwert periodisch nach einem Intervall der Länge K wiederholt. Bild 3.19 zeigt eine einfache periodische Signalfolge:

Bild 3.19: Beispiel für eine periodische Signalfolge mit einer Periode K = 8

Für periodische Folgen und ganzzahlige Werte n gilt:

(3.43)

Neben den Folgen, die das Ein-, Aus- oder Umschalten modellieren, sind in der Systemtheorie periodische, harmonische Signalfolgen von großer Bedeutung. Als Beispiel soll hier eine Kosinusfolge diskutiert werden. Sie ist definiert als

(3.44)

wobei A die Amplitude der Schwingung, φ der Nullphasenwinkel und Ω0 die normierte Kreisfrequenz ist. Die Normierung wird in < a href="http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/spektrum-von-signalfolgen/grundlagen/definitionsgleichung-der-fourier-transformation-von-signalfolgen.html"> Kapitel 7.1.2 Definitionsgleichung der Fourier-Transformation von Signalfolgen ausführlich diskutiert. Die normierte Kreisfrequenz ergibt sich aus dem Ansatz, dass die Folgenwerte x[k] an den Zeitpunkten k⋅TA mit der Funktion x(t) übereinstimmen sollen.

(3.45)

Ein Vergleich der beiden Kosinusfunktionen führt zu einer Normierung der Kreisfrequenz mit der Abtastzeit TA.

(3.46)

Da der Folgenindex k im Gegensatz zu Zeit t dimensionslos ist, besitzt die normierte Kreisfrequenz die Einheit rad. Bild 3.20 verdeutlicht diese Definitionen an einem Beispiel:

Bild 3.20: Kosinusfolge mit einer Periode K = 10, einer Amplitude von 5 und einem Nullphasenwinkel von - 2/5⋅π

In dem Beispiel beträgt die Amplitude 5. Die Kosinusfolge hat zwei aufeinanderfolgende Minima bei k = - 3 und k = 7, woraus sich eine Periode von K = 10 und eine normierte Kreisfrequenz

(3.47)

ergibt. Die Nullphase φ ist nicht unmittelbar aus dem Diagramm ablesbar. Sie wird über die Verschiebung k0 berechnet:

(3.48)

Für das Beispiel ergibt sich damit der Nullphasenwinkel φ = - 2/5⋅π.

Zeigerdarstellung von harmonischen Signalfolgen

In der Elektrotechnik hat sich für die Berechnung von harmonisch angeregten Schaltungen die Zeigerdarstellung durchgesetzt. Sie beruht auf der Eulerschen Formel.

(3.49)

Damit kann eine Kosinusfolge der Form

(3.50)

als Realteil einer komplexen Folge

(3.51)

aufgefasst werden. Diese mathematische Darstellung kann durch einen Zeiger der Länge A verdeutlicht werden, der in der komplexen Ebene um den Koordinatenursprung rotiert. Die Zeit für eine volle Umdrehung ist die Periode K. Die eigentlich interessierende Größe ist die Projektion des Zeigers auf die reelle Achse, sie stellt die Folge x[k] dar. Zum Zeitpunkt k = 0 gilt

(3.52)

Zur Verdeutlichung zeigt Bild 3.21 die Zeigerdarstellung in der komplexen Ebene.

Bild 3.21: Darstellung einer harmonischen Schwingungsfolge als Zeigerdiagramm

Darstellung von Signalfolgen als Überlagerung komplexer Schwingungsfolgen

Durch Umformung der Eulerschen Formel ergibt sich für Kosinusfolgen die Darstellung

(3.53)

Damit lässt sich die Kosinusfolge darstellen als

(3.54)

Der erste Summand beschreibt einen komplexen Zeiger, der sich in der komplexen Ebene mit einer normierten Kreisfrequenz Ω0 in mathematisch positiver Richtung dreht. Der zweite Summand beschreibt einen zweiten komplexen Zeiger, der zu jedem Zeitpunkt konjugiert komplex zum Ersten ist. Er dreht sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie der erste Zeiger, aber in entgegengesetzter Richtung.

Die komplexe Exponentialfolge stellt reelle Folgen mithilfe komplexer Zahlen dar. Es ist eine effiziente Beschreibungsform, die gleichermaßen Amplitude und Phase beschreibt. Physikalisch gesehen existieren komplexe Signale nicht.