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Rechnen mit Folgen

Die Berechnung der Ausgangsfolge eines linearen Systems kann auf bekannte Ausgangsfolgen zurückgeführt werden, wenn die Eingangsfolge auf bekannten Folgen basiert. Dazu ist es notwendig, die Folgen mithilfe der in diesem Abschnitt dargestellten Rechenmethoden umrechnen zu können.

Operationen mit Folgen

Für die Umrechnung von Folgen sind mathematische Operationen notwendig. Die wichtigsten elementaren Operationen sind im Folgenden zusammengefasst und an dem Beispiel der Folge

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grafisch dargestellt.

Skalierung der Amplitude

Die Folge a⋅x[k] ist gegenüber der Folge x[k] verstärkt (a > 1) beziehungsweise gedämpft (0 < a < 1). Bild 3.14 zeigt die Folge x[k] und die um einen Faktor 0.5 gedämpfte Signalfolge 0.5⋅x[k].

Bild 3.14: Darstellung der Folge x[k] und der skalierten Folge 0.5⋅x[k]

Zeitliche Verschiebung

Die Folge x[k - k0] ist gegenüber der Folge x[k] nach rechts (k0 > 0) beziehungsweise nach links (k0 < 0) verschoben. Bild 3.15 zeigt die Folge x[k] und die um k0 = 5 verschobene Folge x[k – 5].

Bild 3.15: Darstellung der Folge x[k] und der um k0 = 5 nach rechts verschobenen Folge x[k – 5]

Das Vorgehen wird am einfachsten deutlich, wenn über den Folgenindex k argumentiert wird. Die Folge x[k] weist zum Zeitpunkt k = 1 den maximalen Wert auf. Da der Index k in der Folge x[k – 5] um 5 verringert wird, weist die Folge x[k – 5] erst an der Stelle k = 6 den maximalen Wert auf.

Spiegelung

Die Spiegelung einer Folge an der Stelle k = 0 kann mathematisch durch die Folge x[-k] dargestellt werden. Bild 3.16 zeigt die Folge x[k] und die gespiegelte Folge x[-k].

Bild 3.16: Darstellung der Folge x[k] und der an k = 0 gespiegelte Folge x[- k]

Auch hier kann über den Folgenindex argumentiert werden. Die Folge x[k] weist an der Stelle k = 1 den Folgenwert x[1] = 7.6 auf. Die Folge x[-k] besitzt denselben Folgenwert an der Stelle k = - 1.

Zeitliche Skalierung

Bei Signalfolgen kann eine Stauchung oder Dehnung des Signals nicht beliebig vorgenommen werden, da die dazu notwenigen Abtastwerte nicht vorliegen. Ohne zusätzliche Interpolationsschritte ist es bei der zeitlichen Skalierung nur möglich, ganzzahlige Faktoren a > 1 einzusetzen. Diese Skalierung führt zu einer Stauchung der Signalfolge. Bild 3.17 zeigt die Folge x[k] und die zeitlich skalierte Folge x[2⋅k].

Bild 3.17: Darstellung der Folge x[k] und der gestauchten Signalfolge x[2⋅k]

Wieder wird der Begriff der Stauchung am einfachsten deutlich, wenn über das Argument der Folge x[a⋅k] argumentiert wird.