Interpretation der Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion von zeitdiskreten LTI-Systemen kann auf unterschiedliche Art dargestellt werden. Die Beschreibung eines Systems mit der Differenzengleichung

ist direkt mit einer Übertragungsfunktion der Form

verknüpft. Um ein System mit Hilfe von Speichergliedern zu realisieren, wird die Gleichung nach Y(z) aufgelöst.

Es ergibt sich die in Bild 6.7 gezeigte kanonische Darstellungsform von Systemen mit Speichergliedern.

Bild 6.5: Kanonisches Blockschaltbild eines linearen, zeitinvarianten Systems im zeitkontinuierlichen Bereich

Durch Erweiterung der Übertragungsfunktion (6.51) mit z^N ergibt sich eine Übertragungsfunktion, bei der für d₀ ≠ 0 Zähler- und Nennergrad identisch sind.

Diese Darstellungsform wird bei der Rücktransformation einer z-Transformierten G(z) durch Partialbruchzerlegung eingesetzt.

Beispiel: Darstellungsformen von Übertragungsfunktionen

Gegeben ist ein System mit der Differenzengleichung

und der daraus resultierenden Übertragungsfunktion

Auflösen nach Y(z) ergibt

Bild 6.7 zeigt die kanonische Darstellungsform des Systems mit Speichergliedern.

Bild 6.6: Kanonisches Blockschaltbild Systems mit der Differenzengleichung (6.54)

Die Übertragungsfunktion hat im Zähler eine Ordnung von M = 1 und im Nenner eine Ordnung N = 2. Erweitern der Übertragungsfunktion mit z² führt zu der Darstellung

Zähler- und Nennerpolynom haben denselben Grad N = 2. Nach Polynomdivision ergibt sich eine echt gebrochen rationale Funktion

Sie kann als Summe von Partialbrüchen dargestellt

und in den Zeitbereich zurücktransformiert werden.

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Auch bei zeitkontinuierlichen Systemen kann die Übertragungsfunktion auf unterschiedliche Arten dargestellt werden. In Teil A dieser Buchreihe wird in Kapitel 5 z-Transformation von Signalen ausgehend von einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

die Übertragungsfunktion

bestimmt. Die Interpretation des Systems erfolgt anhand dieser Darstellungsform mit Zähler- und Nennerpolynom. Da die Differentiation im Zeitbereich nicht kausal ist, kann diese Darstellungsform jedoch nicht zur Simulation zeitkontinuierlicher LTI-Systeme verwendet werden. Deshalb wird im < a href="http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/zeitkontinuierliche-systeme-im-zeitbereich/simulation-linearer-zeitinvarianter-systeme.html">Abschnitt 3.5 Simulation linearer, zeitinvarianter Systeme von Teil A dieser Buchreihe die Differentialgleichung N-mal integriert. Analog zu Gleichung (6.51) ergibt sich der Ausdruck

Ausmultiplizieren der Gleichung

und Auflösen nach Y(s) führt mit c₀ = 1 zu dem Ausdruck

Um die Integrierer zusammenfassen zu können, wird die erste Summe zerlegt.

Es ergibt sich die in Bild 6.7 gezeigte kanonische Darstellungsform von Systemen mit Integrierern.

Bild 6.7: Kanonisches Blockschaltbild eines linearen, zeitinvarianten Systems im zeitkontinuierlichen Bereich

Beispiel: Darstellungsformen der Übertragungsfunktion für ein Feder-Masse-Dämpfer-Systems

Die unterschiedlichen Darstellungsformen für zeitkontinuierliche Systeme werden anhand eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems mit der Differentialgleichung

verdeutlicht. Eingangssignal ist der Kraftverlauf F_e(t), Ausgangssignal ist die Auslenkung x(t). Transformation in den Laplace-Bereich ergibt bei verschwindenden Anfangsbedingungen die Gleichung

Damit lautet die Übertragungsfunktion

Auf Basis dieser Darstellung und den Polen des Systems

können die Systemeigenschaften diskutiert werden. Andererseits erfolgt die Systemsimulation über eine Darstellungsform

Sie kann nach X(s) aufgelöst werden

Es ergibt sich das in Bild 6.8 dargestellte kanonische Blockschaltbild.

Bild 6.8: Kanonisches Blockschaltbild eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems

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