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Übertragungsfunktion zeitdiskreter Systeme

Bestimmung der Differenzengleichung aus der Übertragungsfunktion

Wie später gezeigt wird, ist das Ergebnis eines Filterentwurfs eine Übertragungsfunktion G(z), die die definierten Filtereigenschaften besitzt. Um den Filter zum Beispiel in Form eines Mikro-Controller-Programms realisieren zu können, muss die Übertragungsfunktion

(6.24)

in eine Differenzengleichung umgeformt werden. Durch Ausmultiplizieren der beiden Brüche ergibt sich die Gleichung

(6.25)

Sie kann mit der Verschiebungsregel in den Zeitbereich zurücktransformiert werden.

(6.26)

Es wird deutlich, dass die Koeffizienten von Differenzengleichung und Übertragungsfunktion identisch sind. Zur Realisierung eines Filters wird der aktuelle Ausgangswert aus den vergangenen Ein- und Ausgangswerten berechnet. Dabei kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit c0 = 1 gesetzt werden.

(6.27)

Die Gleichung ist Grundlage für die technische Realisierung zeitdiskreter Systeme.

Beispiel: Systemrealisierung

Gegeben ist ein System mit der Übertragungsfunktion

(6.28)

Ausmultiplizieren

(6.29)

und Rücktransformation ergibt mit der Verschiebungsregel

(6.30)

Zur Realisierung des Filters als Algorithmus muss die Gleichung nach y[k] aufgelöst werden. Das aktuelle Ausgangssignal des Filters errechnet sich damit zu

(6.31)

Diese Gleichung kann zum Beispiel als Software in einem Controller oder als zeitdiskrete Schaltung realisiert werden.

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