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Übertragungsfunktion zeitdiskreter Systeme

Impuls- und Sprungantwort

Die Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Impulsantwort. Das ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung, wenn für U(z) die z-Transformierte des Impulses

(6.32)

eingesetzt wird:

(6.33)

Bei Anregung des Systems mit einer Sprungfolge mit der z-Transformierten

(6.34)

ergibt sich die z-Transformierte des Ausgangssignals zu

(6.35)

Diese Gleichung kann mit der Summationsregel rücktransformiert werden, und es ergibt sich

(6.36)

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Summe der einzelnen Folgenwerte der Impulsantwort. Dieses Ergebnis entspricht sinngemäß den Eigenschaften zeitkontinuierlicher Systeme. Dort ist die Sprungantwort h(t) das Integral der Impulsantwort g(t). Umgekehrt kann die Impulsantwort aus der Sprungantwort berechnet werden. Im z-Bereich gilt:

(6.37)

Diese Gleichung kann in den Zeitbereich zurücktransformiert werden.

(6.38)

Auch dieses Ergebnis entspricht sinngemäß den Eigenschaften zeitkontinuierlicher Systeme. Dort ist die Impulsantwort g(t) die erweiterte Ableitung der Sprungantwort h(t). Für zeitkontinuierliche Systeme wird der Endwert der Sprungantwort als Verstärkung definiert. Um den Begriff der Verstärkung für zeitdiskrete Systeme zu definieren, wird der Grenzwert untersucht.

(6.39)

Die Verstärkung eines zeitdiskreten Systems ergibt sich aus dem Wert der Übertragungsfunktion an der Stelle z = 1. Tabelle 6.4 fasst die Zusammenhänge von Impuls- und Sprungantwort zusammen.

Tabelle 6.2: Übersicht zum Zusammenhang von Impuls- und Sprungantwort
Eigenschaft Zeitbereich z-Bereich
Impulsantwort
Sprungantwort
Verstärkung des Systems

Zur Vertiefung des Begriffes der Sprungantwort werden ein zeitkontinuierliches und ein zeitdiskretes System verglichen, die an den Stellen t = k⋅TA dieselben Werte aufweisen.

(6.40)

Die Sprungantwort des zeitkontinuierlichen Systems ergibt sich aus dem Integral

(6.41)

Die Sprungantwort des zeitdiskreten Systems ergibt sich aus der Summe

(6.42)

Während das Integral die Fläche unter der Impulsantwort bis zum Punkt t repräsentiert, nähert die Summe die Fläche über Rechtecke. Die Breite der Rechtecke ist bei zeitdiskreten Systemen auf den Wert eins normiert. Aus diesem Grund gilt:

(6.43)

Die Abtastzeit kann dadurch berücksichtigt werden, dass die Sprungantwort h[k] mit der Abtastzeit TA multipliziert wird. Damit wird die Breite der Rechtecke von 1 auf TA geändert.

(6.44)

Auch nach dieser Korrektur sind die Sprungantworten nicht identisch, da die Fläche unter der zeitkontinuierlichen Impulsantwort im zeitdiskreten Fall nur über Rechtecke approximiert wird.

Beispiel: Vergleich von Sprungantworten

Gegeben ist ein zeitkontinuierliches System mit der Impulsantwort

(6.45)

Das System wird mit einer Abtastzeit TA = 1 ms abgetastet. Es ergeben sich die Folgenwerte

(6.46)

Die Sprungantwort des zeitkontinuierlichen Systems lautet

(6.47)

Die Sprungantwort des zeitdiskreten Systems errechnet sich zu

(6.48)

Durch die Multiplikation der Sprungantwort mit der Abtastzeit TA ergibt sich die Näherung

(6.49)

Die Impuls- und Sprungantworten sind in Bild 6.4 dargestellt.

Bild 6.4: Vergleich der Sprungantworten eines zeitdiskreten und eines zeitkontinuierlichen Systems mit identischen Impulsantworten g[k] = g(k⋅TA)

Es wird deutlich, dass die Sprungantworten nur näherungsweise gleich sind. Grund dafür ist die Approximation der Fläche unter der Impulsantwort mit den in Bild 6.4 eingezeichneten Rechtecken. Ein ausführlicher Vergleich zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen wird in Kapitel 9 Zeitdiskrete Realisierung zeitkontinuierlicher Systeme vorgenommen.