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Darstellung und Charakterisierung multivariater Datensätze

Zweidimensionale Datensätze lassen sich wegen der räumlichen Vorstellung noch vergleichsweise einfach darstellen. Auch bei dreidimensionalen Datensätzen ergeben sich noch Möglichkeiten der grafischen Darstellung. Dazu wird ein Datensatz analysiert, bei dem die Ausbeute eines chemischen Prozesses als Funktion der Temperatur und der Katalysatorkonzentration dargestellt wird. Für die Messwertaufnahme wurden alle anderen Parameter konstant gehalten.

Soll die Fertigungsausbeute A in Abhängigkeit von Temperatur T und Katalysatorkonzentration K dargestellt werden, kann das in Form eines dreidimensionalen Streudiagrammes erfolgen. Dabei wird die räumliche Darstellung in die Ebene projiziert.

Tabelle 5.7: Urliste einer Messreihe eines chemischen Prozesses
Nr. Temperatur T / °C Katalysatorkonzentration K / % Ausbeute A / %
1 130 0.3 67.47
2 140 0.5 84.27
3 120 0.1 54.78
4 120 0.1 54.13
5 120 0.5 73.82
6 130 0.3 66.18
7 140 0.5 83.05
8 140 0.1 61.86
9 140 0.1 61.33
10 120 0.5 71.20
11 140 0.1 60.41
12 130 0.3 69.08
13 120 0.1 51.06
14 140 0.5 84.95
15 120 0.5 71.31
16 120 0.1 53.67
17 140 0.5 83.50
18 120 0.5 71.87
19 140 0.1 61.78
20 130 0.3 66.23

Bild 5.5 stellt die Ausbeute A in Abhängigkeit der Temperatur T und Katalysatorkonzentration K als Streudiagramm dar.

Bild 5.5: Ausbeute in Abhängigkeit der Temperatur und der Katalysatorkonzentration als Streudiagramm

Ein dreidimensionales Streudiagramm mit MATLAB wird über den folgenden Programmabschnitt erstellt.

% Messwerte einlesen
load ChemischeIndustrie.mat;

% Grafische Darstellung der Messdaten als Streudiagramm
figure(1);

scatter3(values(:,1),values(:,2),values(:,3),'ob','filled');

 

Bereits die Darstellung von dreidimensionalen Datensätzen führt zu Messpunkten im Streudiagramm, deren Lagen wegen der Projektion nicht mehr eindeutig erkennbar sind. Steigt die Dimension des Datensatzes auf einen Wert größer drei, ist auch eine quasi-räumliche Darstellung der Daten nicht mehr möglich, sodass hier andere Wege der grafischen Darstellung gefunden werden müssen.

Eine einfache Darstellungsmöglichkeit mehrdimensionaler Datensätze besteht darin, jeweils für zwei Größen ein Streudiagramm zu bilden. Es ergibt sich eine Matrix von Streudiagrammen, bei der der Zusammenhang zwischen zwei Größen dargestellt ist. Alle übrigen Größen werden nicht eingeschränkt, sind also beliebig. Auf der Hauptdiagonalen der Matrix sind die Größen bezeichnet und die verwendeten Einheiten sind dargestellt. Die Achsenbeschriftung findet jeweils am Rand der Matrix statt.

Bild 5.6: Streudiagramm-Matrix der Messwerte eines chemischen Prozesses

Bild 5.6 stellt die Streudiagramm-Matrix der Messwerte eines chemischen Prozesses mit den Werten aus Tabelle 5.7 dar. Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. An der grafischen Darstellung kann abgelesen werden, welche Kombinationen von Temperatur und Katalysatorkonzentration verwendet wurden. Es wird außerdem deutlich, dass die Ausbeute von der Temperatur und der Katalysatorkonzentration abhängig ist. Sowohl eine Erhöhung der Temperatur als auch der Katalysatorkonzentration könnte in dem untersuchten Parameterbereich somit zur Steigerung der Ausbeute verwendet werden.

Diese Art der Darstellung kann durch eine weitere Information, nämlich die relative Häufigkeitsverteilung der einzelnen Stichprobengrößen, erweitert werden. Die Häufigkeitsverteilungen werden auf der Hauptdiagonale platziert. Dadurch werden in dem Diagramm mehr Informationen dargestellt, allerdings wirkt die Darstellung weniger übersichtlich und die Zuordnung der Daten zu den Größen ist weniger deutlich. Bild 5.7 stellt diese Variante der Streudiagramm-Matrix dar.

Bild 5.7: Streudiagramm-Matrix der Messwerte eines chemischen Prozesses mit Häufigkeitsverteilung der Stichprobengrößen

Die paarweise Streudiagramm-Matrix kann für m-dimensionale Stichproben entsprechend erweitert werden. In MATLAB können sie durch Anwendung eines sogenannten subplot realisiert werden. Alternativ kann die Streudiagramm-Matrix kann mit dem MATLAB-Befehl gplotmatrix dargestellt werden.

% Messwerte einlesen
load ChemischeIndustrie.mat;

% Grafische Darstellung der Messdaten als Streudiagramm
figure(2);

gplotmatrix(values);