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Anwendungsbeispiel: Sensordiagnose im Steuergerät

Zur Erkennung von Sensorfehlern werden in Steuergeräten Diagnoseverfahren eingesetzt. Sie überwachen Ausgangsspannungen von Sensoren und plausibilisieren unterschiedliche Sensorsignale miteinander.

Diagnosefunktionen sollten idealerweise so arbeiten, dass sie eine Fehlfunktion erkennen, wenn sie tatsächlich vorliegt und nicht reagieren, wenn der entsprechende Sensor nicht fehlerhaft ist. Die Diagnose von Fehlern ist jedoch nicht ideal. Reale Diagnosekonzepte haben eine endliche Aussagesicherheit. Die Auswirkungen werden im Folgenden mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung analysiert.

Von einer Diagnosefunktion ist bekannt, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.99 % einen defekten Sensor als defekt erkennt. Außerdem ist bekannt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.02 % funktionsfähige Sensoren als defekt eingestuft werden. Außerdem ist aus einer Ausfallstatistik bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Sensordefekt bei 100 ppm liegt.

Es wird die Frage diskutiert, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Sensor wirklich defekt ist, wenn er mit der oben diskutierten Diagnosefunktion als defekt erkannt wurde. Um die Aufgabe zu lösen, werden zu Beginn zwei Ereignisse definiert:

  • Ereignis A: Sensor ist defekt

  • Ereignis B: Diagnoseergebnis ist positiv, Sensor wird als defekt eingestuft

Die Aufgabenstellung kann auch mithilfe eines Ereignisbaumes wie in Bild 2.14 beschrieben werden. An die entsprechenden Zweige werden die bekannten Wahrscheinlichkeiten gekennzeichnet. Da ein sicheres Ereignis S bei einem Experiment die Wahrscheinlichkeit 1 besitzt, sind auch die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Zweige bekannt.

Bild 2.14: Ereignisbaum zum Beispiel der Sensordiagnose

In der Fragestellung ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, mit der unter der Voraussetzung eines positiven Diagnoseergebnisses der Sensor tatsächlich defekt ist. Dies entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B).

Bekannt ist die Wahrscheinlichkeit P(B|A) = 99.99%, mit der ein defekter Sensor als defekt erkannt wird, und die Wahrscheinlichkeit P(B|A') = 0.02 %, mit der ein funktionstüchtiger Sensor als defekt eingestuft wird. Außerdem beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Sensordefekt P(A) = 100 ppm = 10-4.

Da es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, kann mit dem Satz von Bayes gearbeitet werden.

(2.85)

Im Folgenden soll die Vorgehensweise bei der Berechnung mit dem Ereignisbaum aus Bild 2.14 gezeigt werden. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der unter der Voraussetzung eines positiven Diagnoseergebnisses der Sensor tatsächlich defekt ist, muss der Ereignisbaum umgestellt werden.

Bild 2.15: Umgestellter Ereignisbaum zum Beispiel der Sensordiagnose

Zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit muss zunächst die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis P(B) bestimmt werden. Mit dem Ereignisbaum aus Bild 2.14 oder dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit folgt diese zu

(2.86)

Da die Wahrscheinlichkeit des Pfades 0-A-B im Ereignisbaum in Bild 2.14 gleich der Wahrscheinlichkeit 0-B-A in Bild 2.15 sein muss, kann die Wahrscheinlichkeit für einen defekten Sensor bei einem positiven Diagnoseergebnis berechnet werden.

(2.87)

Bei näherer Betrachtung entspricht diese Rechnung dem Satz von Bayes.

Das Ergebnis der Berechnung besagt, dass trotz des positiven Diagnoseergebnisses die Wahrscheinlichkeit für einen Sensordefekt lediglich bei 33.33 % liegt. Ursache dafür ist, dass der Anteil funktionsfähiger Sensoren sehr groß ist. In Bild 2.16 ist diese Aussagesicherheit als Funktion der Wahrscheinlichkeit P(B|A') dargestellt, mit der ein funktionstüchtiger Sensor als defekt eingestuft wird. Der in die Grafik eingezeichnete Punkt gibt das Ergebnis für P(B|A') = 0.02 % an.

Bild 2.16: Wahrscheinlichkeit mit der ein Sensor wirklich defekt ist, wenn er mit einer Diagnosefunktion als defekt eingestuft wurde

Die Rechnung zeigt, dass sich die Wahrscheinlichkeit P(B|A'), mit der ein funktionstüchtiger Sensor als defekt eingestuft wird, stark in das Ergebnis eingeht. Entwickler von Diagnosefunktionen sind deshalb bestrebt, gerade diesen Fehler zu minimieren.