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Aufbau von Ereignisbäumen

Oftmals können Zufallsprozesse aus mehreren nacheinander ablaufenden Zufallsexperimenten modelliert werden. In dem Fall handelt es sich um ein sogenanntes mehrstufiges Zufallsexperiment. Ein anschauliches, grafisches Hilfsmittel bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten solcher mehrstufigen Zufallsexperimente ist der Ereignisbaum [Papu01]. Er besteht aus einer Wurzel, dem Ausgangspunkt der Zufallsexperimente, mehreren Verzweigungspunkten und einer Vielzahl von Zweigen.

Bild 2.7: Darstellung eines Ereignisbaumes

In Bild 2.7 ist der prinzipielle Aufbau eines zweistufigen Ereignisbaumes zu erkennen. Der Ausgangspunkt des Zufallsexperiments, die Wurzel, wird durch einen schwarzen Punkt dargestellt. Die Verzweigungspunkte A1 und A2 charakterisieren die möglichen Ereignisse für das erste Zufallsexperiment. Die von diesen Verzweigungspunkten ausgehenden Zweige führen zu den jeweils möglichen Ergebnissen der folgenden 2. Stufe, die durch B1 bis B5 bezeichnet sind.

Die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Ereignis zu einem Folgeereignis wird an den betreffenden Zweig geschrieben. So gibt P(A1) an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis A1 eintritt. Ein mögliches Endergebnis des Zufallsprozesses wird dann immer von der Wurzel ausgehend längs eines Pfades erreicht. Dieser besteht meist aus mehreren Zweigen. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Endergebnisses erfolgt unter Anwendung folgender Rechenregeln:

  • Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert

  • Führen mehrere Pfade zum gleichen Endergebnis, so addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten

Beispiel: Ereignisbaum für das zweimalige Würfeln

Um den Umgang mit Ereignisbäumen zu verdeutlichen, wird das zweimalige Würfeln eines regelmäßigen Würfels betrachtet. Es handelt sich dabei um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Für das Würfeln mit einem Würfel können eine Menge der geraden Zahlen und eine Menge der ungeraden Zahlen definiert werden. Beide Mengen sind disjunkt, zusammen stellen sie das sichere Ereignis dar, weil jede gewürfelte Augenzahl entweder gerade oder ungerade ist.

Als Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet, dass bei zwei Würfen mit einem regelmäßigen Würfel eine gerade Augensumme erzielt wird. Dieses Ereignis wird als B bezeichnet. Es ergibt sich der in Bild 2.8 dargestellte Ereignisbaum.

Bild 2.8: Darstellung eines Ereignisbaumes für das zweimalige Würfeln

Die gerade Augensumme kann sich auf zweierlei Arten ergeben, da beim ersten Wurf entweder eine gerade oder eine ungerade Augenzahl gewürfelt werden kann. Wird beim ersten Wurf eine gerade Zahl gewürfelt, muss auch beim zweiten Wurf eine gerade Zahl gewürfelt werden. Wird beim ersten Wurf eine ungerade Zahl gewürfelt, muss auch beim zweiten Wurf eine ungerade Zahl gewürfelt werden. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Pfade.

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