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Grundbegriffe und Mengenoperationen

Bevor die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammengestellt und diskutiert werden können, müssen einige Grundbegriffe erläutert und die Grundzüge der Mengenlehre eingeführt werden. Zur Veranschaulichung der Begriffe wird parallel ein Würfelexperiment beschrieben.

Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat den Anspruch, die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang von zufälligen Prozessen vorauszusagen. Der Zufallsprozess wird auch als Zufallsexperiment bezeichnet. Er muss wiederholbar und das Ergebnis vom Zufall abhängig sein. Das konkrete Ergebnis kann im Voraus nicht eindeutig bestimmt werden.

Bekanntestes Beispiel für ein Zufallsexperiment ist das Werfen eines regelmäßigen Würfels. Der Würfel kann beliebig oft geworfen werden und das Ergebnis ist nicht vorhersagbar. Bei jedem Zufallsexperiment sind unterschiedliche Ergebnisse möglich, die zufällig eintreffen. Diese Ergebnisse werden Zufallsereignisse oder Ereignisse genannt. Beim einmaligen Werfen eines Würfels können die Ereignisse

(2.1)

eintreffen oder realisiert werden. Im Folgenden werden unterschiedliche Ereignisse definiert, die sich aus einem Zufallsexperiment ergeben können. Als Beispiel dient dabei das einmalige Würfeln mit einem Würfel.

Elementarereignis

Sind Ergebnisse von Zufallsexperimenten nicht weiter zerlegbar und schließen sich gegenseitig aus, werden sie als Elementarereignisse bezeichnet. Beim einmaligen Würfeln sind die Ereignisse

(2.2)

Elementarereignisse. Sie bestehen aus einem Element und sind deshalb nicht weiter zerlegbar, außerdem schließen sie sich gegenseitig aus.

Ereignisraum

Die Menge Ω aller Elementarereignisse eines Zufallsexperimentes wird als Ereignisraum dieses Zufallsexperimentes bezeichnet. In der Literatur wird der Ereignisraum auch Grundraum genannt. Für das einmalige Würfeln ergibt sich eine Ereignisraum Ω von

(2.3)

Dabei werden, wie in der Mengenlehre üblich, Mengen mit geschweiften Klammern dargestellt.

Ereignismenge

Eine Menge möglicher Elementarereignisse wird als Ereignismenge A bezeichnet. Sie ist eine Teilmenge des Ereignisraums Ω. Zum Beispiel ist beim einmaligen Würfeln die Menge A der geraden Zahlen

(2.4)

eine Teilmenge des Ereignisraums W und damit eine Ereignismenge.

Unmögliches Ereignis

Ist ein Ereignis kein Teilelement des Ereignisraums, wird es als unmögliches Ereignis U bezeichnet.

(2.5)

Beim einmaligen Würfeln kann die Zahl 7 nicht eintreffen, das Ereignis ist unmöglich.

Sicheres Ereignis

Entspricht die Definition eines Ereignisses dem gesamten Ereignisraum Ω,

(2.6)

wird das Ereignis als sicheres Ereignis S bezeichnet. Bei dem Würfeln mit einem Würfel wird eines der Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sicher eintreffen.