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Klassische Wahrscheinlichkeit nach Laplace

Definition

Zur Herleitung des Begriffes der klassischen Wahrscheinlichkeit nach Laplace wird wieder das Beispiel des Würfelns mit einem regelmäßigen Würfel betrachtet. Alle sechs Elementarereignisse schließen einander aus. Da der Würfel regelmäßig ist, ist keines dieser sechs Elementarereignisse wahrscheinlicher als ein anderes. Alle Elementarereignisse sind möglich und gleich wahrscheinlich.

In ähnlicher Weise können auch für andere Zufallsexperimente die jeweiligen Elementarereignisse angegeben werden, die einander ausschließen und gleich wahrscheinlich sind. Diese beiden Eigenschaften sind die Voraussetzung für die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Laplace.

Gibt es bei dem Experiment N gleichwahrscheinlicher Fälle, können diese Fälle in zwei Gruppen eingeteilt werden. Die günstigen Fälle erfüllen eine definierte Bedingung, die ungünstigen Fälle erfüllen die definierte Bedingung nicht. Zum Beispiel kann die Bedingung für ein günstiges Ereignis A lauten, dass bei einem Wurf mit einem regelmäßigen Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wird. Dann ist der Wurf mit der Augenzahl 2, 4 oder 6 ein günstiger Fall, alle anderen Augenzahlen sind ungünstige Fälle.

Wird die Anzahl der günstigen Elementarereignisse mit G bezeichnet und die Anzahl der möglichen Fälle mit N, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(A) für das günstige Ereignis A nach Laplace zu

(2.17)

Das Ereignis A, bei einem Wurf mit einem regelmäßigen Würfel eine gerade Zahl zu würfeln, ergibt sich aus 3 günstigen Elementarereignissen, nämlich den Augenzahlen 2, 4 und 6. Entsprechend ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit P(A)

(2.18)

Für das Ereignis D, bei einem Wurf mit einem regelmäßigen Würfel eine Augenzahl 4 zu erzielen, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit entsprechend aus

(2.19)

Beispiel: Zweimaliges Würfeln

In dem folgenden Beispiel wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf mit zwei regelmäßigen Würfeln gleichzeitig zwei gerade Zahlen zu würfeln?

Es gibt insgesamt 36 gleichmögliche Fälle. Die folgenden Kombinationen von Einzelwürfen stellen den Ereignisraum Ω dar.

(2.20)

Dabei bezeichnet die erste Zahl jeweils die mit dem ersten Würfel erzielte Augenzahl und die zweite Zahl die mit dem zweiten Würfel erzielte Augenzahl. Bei 9 dieser 36 Fälle

(2.21)

trifft das Ereignis zweier gerader Zahlen ein. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit

(2.22)

Bei der Beschreibung von Zufallsexperimenten mit einer endlichen Anzahl von Ereignissen ist es erforderlich, die Anzahl möglicher und günstiger Varianten zu berechnen. Diese Rechnungen bauen auf wenigen Rechenmodellen auf: Permutationen, Variationen und Kombinationen. Sie werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt.