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Wahrscheinlichkeitsbegriff der Statistik nach Kolmogoroff

Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Laplace beruht darauf, den Begriff der Wahrscheinlichkeit auf die Gleichwahrscheinlichkeit von Elementarereignissen zurückzuführen. Ereignismengen werden mit den vorgestellten Mengenoperationen auf Elementarereignisse zurückgeführt. Darüber hinaus existieren Zufallsexperimente, bei denen der Ereignisraum unendlich viele Elementarereignisse aufweist. Ein Ereignis wird damit ein stetiges Kontinuum. Soll zum Beispiel die Toleranzverteilung bei der Fertigung von Passstiften analysiert werden, ist der Ereignisraum kontinuierlich. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace kann deshalb nicht angewendet werden. Aus diesem Grund hat Kolmogoroff ihn verallgemeinert.

Der statistische Begriff der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff beruht auf Axiomen. Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die zu anderen Axiomen widerspruchsfrei ist. Aus Axiomen lassen sich alle sonstigen Sätze des Systems logisch ableiten. Den Ausgangspunkt für den Wahrscheinlichkeitsbegriff der Statistik nach Kolmogoroff bildet die Erfahrung, dass das Eintreffen von Ereignissen bei den meisten Zufallsprozessen auf Dauer einer gewissen Gesetzmäßigkeit unterliegt. Insbesondere erweist sich die relative Häufigkeit eines Experimentes für große Stichprobenumfänge als stabil. Diese ist definiert als Quotient aus der absoluten Häufigkeit, mit der ein Wert vorliegt, und dem Stichprobenumfang N durch die Gleichung

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Bild 2.9 zeigt für ein Würfelexperiment mit einem regelmäßigen Würfel die relative Häufigkeit, eine gerade Zahl zu würfeln.

Bild 2.9: Relative Häufigkeit mit einem regelmäßigen Würfel eine gerade Zahl zu würfeln als Funktion der Anzahl von Versuchen

Sind die relativen Häufigkeiten der Ereignisse bei einem Experiment nahezu konstant, weist das Experiment eine statistische Regelmäßigkeit oder Stabilität der relativen Häufigkeit auf. Die meisten praktischen Zufallsexperimente haben diese Stabilitätseigenschaft. Trifft bei wiederholtem Ausführen eines Experimentes das Ereignis A mit der relativen Häufigkeit h(A) ein, so wird die relative Häufigkeit als die Wahrscheinlichkeit P(A) für das Ereignis A definiert. Die Wahrscheinlichkeit P(A) ist damit das theoretische Gegenstück zu der empirischen relativen Häufigkeit h(A), auf die in Kapitel 3 eingegangen wird.