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Definition des Korrelationskoeffizienten ρ der Grundgesamtheit

In den Kapiteln 5 Beschreibende Statistik multivariater Daten und 6 Multivariate Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei- und mehrdimensionale Datensätze und Zufallsvariablen vorgestellt und beschrieben. Dabei wird die Kovarianz als Maß für den Zusammenhang zweier Zufallsgrößen diskutiert. Aufgrund einer fehlenden Normierung eignet sie sich jedoch wegen der fehlenden Normierung nur bedingt zur Interpretation der Abhängigkeit. Eine geeignete Normierung liefert der Korrelationskoeffizient.

Ist der Korrelationskoeffizient r der Grundgesamtheit unbekannt, kann er auf Basis einer Stichprobe geschätzt werden. Die Bewertung dieser Schätzung erfolgt über einen Konfidenzbereich oder mithilfe eines Hypothesentests. Beide Verfahren werden in diesem Kapitel vorgestellt.

In Kapitel Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. und Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. werden Verfahren vorgestellt, mit denen Vertrauensbereiche und Hypothesentests aufgebaut werden. Grundlage für diese Tests ist die Analyse einer Zufallsvariablen, die den Zusammenhang zwischen der Stichprobe und der Grundgesamtheit hergestellt hat. Um für den Korrelationskoeffizienten ρ der Grundgesamtheit einen Konfidenzbereich angeben und einen Hypothesentest zur Signifikanzprüfung durchführen zu können, wird in diesem Abschnitt der Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit eingeführt, und es werden die grundlegenden Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten erläutert.

Korrelationskoeffizient ρ der Grundgesamtheit von Wertepaaren

Die in der zweidimensionalen Grundgesamtheit vorkommenden Mittelwerte µx und µy der beiden Zufallsvariablen x und y sind durch den Erwartungswert-Operator definiert zu

(6.32)

und

(6.33)

Die zugehörigen Varianzen der Grundgesamtheit errechnen sich aus

(6.34)

und

(6.35)

Mit der Kovarianz σxy der Zufallsgrößen x und y

(6.36)

berechnet sich der Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit ρ in Anlehnung an Gleichung (5.29)zu

(6.37)