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Funktionen von Zufallsvariablen

Zur Beschreibung von Zufallsexperimenten kann es notwendig sein, eine Funktion von Zufallsvariablen abzubilden. Dabei wird jedem möglichen Wert des Vektors von Zufallsvariablen X über die Funktion g(X) ein reeller Wert zugeordnet. Hierbei sind vier grundlegende Rechenoperationen von Bedeutung, mit denen komplexe Funktionen analysiert werden können:

  • Summe von Zufallszahlen
  • Differenz von Zufallszahlen
  • Produkt von Zufallszahlen
  • Quotient von Zufallszahlen

Die Herleitung beschränkt sich der Übersicht wegen auf zwei stetige Zufallsvariablen. Außerdem wird an dieser Stelle der Zusammenhang nur für die Summe von Zufallszahlen hergeleitet. Die Herleitungen zu den übrigen Rechenoperationen sind ähnlich und im Anhang A.3 dargestellt. Die dabei erlangten Erkenntnisse lassen sich auf Funktionen diskreter Zufallsvariablen und auch auf mehrere Zufallsvariablen erweitern.

Verteilungsfunktion für die Summe unabhängiger Zufallsvariablen

Im Folgenden soll die Summenfunktion der unabhängigen Zufallsvariablen x und y untersucht werden. Die Verteilungsfunktion der neuen Zufallsvariablen der Form

(6.85)

berechnet sich zu

(6.86)

Wie bereits bei der linearen Transformation muss zur Umformung des Integrals eine entsprechende Koordinatentransformation durchgeführt werden. Hierbei wird

(6.87)

gesetzt. Diese Koordinatentransformation erfordert eine Umrechnung des Integranden. Diese lässt sich nach dem Transformationssatz durch die Berechnung der Jacobi-Determinanten durchführen. Es ergibt sich

(6.88)

Damit folgt Gleichung(6.86) zu

(6.89)

Die Dichtefunktion der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen kann über die Faltung der Dichtefunktionen beschrieben werden

(6.90)

Diese Erkenntnis kann auf m unabhängige Zufallsvariablen erweitert werden. Die Verteilungsfunktion der Summe von m unabhängigen Zufallsvariablen

(6.91)

ergibt sich aus der Faltung der m Verteilungsfunktionen f(xi).