Multivariate Wahrscheinlichkeitstheorie

In Kapitel 4 Univariate Wahrscheinlichkeitstheorie wird ausgehend von der eindimensionalen Zufallsvariablen und deren Verteilung die univariate Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt. Dabei werden Kenngrößen von Verteilungen berechnet und diese Erkenntnisse auf diskrete und stetige Verteilungen angewandt. Wie im vorangegangen Kapitel 5 gezeigt wird, treten in der Praxis jedoch oftmals zwei- oder mehrdimensionale Aufgabestellungen auf. Auch bei den Stichprobenfunktionen und den Schätzmethoden für Parameter, die in den folgenden Abschnitten behandelt werden, handelt es sich um mehrdimensionale Aufgabenstellungen. Aus diesem Grund werden in diesem Kapitel die Grundlagen für den Umgang mit multivariaten Problemstellungen gelegt. Dabei werden die wesentlichen Kenngrößen von mehrdimensionalen Verteilungen berechnet und auf diskrete und stetige Verteilungen angewandt. Zum Abschluss werden exemplarisch die Multinomial-Verteilung als diskrete und die Normalverteilung als stetige multivariate Verteilung vorgestellt.

In der Praxis werden bei komplexeren Aufgabestellungen gleichzeitig mehrere Einflussgrößen beobachtet und analysiert. Dabei entstehen o-dimensionale Größen der Form

Der Vektor X wird als Zufallsvektor oder o-dimensionale Zufallsvariable bezeichnet, wenn die Komponenten x₁, …, x_m eindimensionale Zufallsvariablen sind. In Kapitel 5 wird gezeigt, wie derartige Stichproben durch Kenngrößen beschrieben werden können.

Im eindimensionalen Fall galt die Beziehung

Bei multivariante Fragestellungen und Verfahren wird die Wahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion

beschrieben. Dabei wird analog zu den univariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus Kapitel 4 zwischen diskreten und stetigen Verteilungen unterschieden.