Teil C - Stochastische Signale > Multivariate Wahrscheinlichkeitstheorie > Gemeinsame Verteilungs- und Dichtefunktionen > Diskrete Verteilungen > 

Gemeinsame Verteilungs- und Dichtefunktionen

Diskrete Verteilungen

Ein Zufallsvektor X heißt diskret, wenn nur Werte aus einer abzählbaren Menge angenommen werden können. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Größe X ist gegeben durch

(6.4)

Durch Summation der einzelnen Glieder ergibt sich die Verteilungsfunktion F(X) eines diskreten Zufallsvektors aus

(6.5)

Die diskrete multivariate Verteilung soll anhand eines Zufallsexperiments verdeutlicht werden, das aus Gründen der Übersichtlichkeit von zwei Zufallsgrößen abhängt.

Beispiel: Würfelexperiment

Als Beispiel wird das Würfeln mit zwei unterscheidbaren Würfeln aufgegriffen. Für das Experiment werden die beiden Zufallsgrößen x und y definiert. Die Variable x repräsentiert das Ergebnis des ersten Würfels und die Variable y die Zahl, die der zweite Würfel anzeigt. Da die möglichen Zahlenpaare alle gleichwahrscheinlich sind, hat jedes die Wahrscheinlichkeit von 1/36. Bild 6.1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das Experiment.

 

Bild 6.1: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,y)

Durch Summation der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich die Verteilungsfunktion F(x,y).

(6.6)

Sie ist in Bild 6.2 dargestellt.

Bild 6.2: Grafische Darstellung der Verteilungsfunktion F(x,y)

Die Verteilungsfunktion wird benötigt, um zum Beispiel die Frage zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit beim ersten Würfel eine Zahl kleiner gleich 2 und beim zweiten Würfel eine Zahl kleiner gleich 4 gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ergibt sich aus Gleichung (6.6) zu

(6.7)

Das Ergebnis deckt sich mit dem Wert, der aus dem Diagramm in Bild 6.2 entnommen werden kann.