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Gemeinsame Verteilungs- und Dichtefunktionen

Randverteilungen

Bei der Auswertung von multivariaten Stichproben werden Randhäufigkeiten definiert und ausgerechnet. Dieser Randhäufigkeit entspricht bei multivariaten Verteilungen die Randverteilung. Jeder o-dimensionalen Verteilung lassen sich m eindimensionale Randverteilungen zuordnen. Um den Begriff der Randverteilung zu erläutern, erfolgt die Betrachtung am Beispiel des Würfelns mit zwei unterscheidbaren Würfeln aus Abschnitt 6.1.1.

Für das Würfelbeispiel wird die Fragestellung untersucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit der erste Würfel die Zahl 4 aufweist. Der zweite Würfel bleibt bei dieser Fragestellung unbeachtet.

(6.15)

Die Berechnung erfolgt im diskreten Fall durch die Addition aller Wahrscheinlichkeiten f(x,y), bei der das positive Ereignis x = 4 eintritt.

(6.16)

Genauso könnte die Frage nach der Wahrscheinlichkeit gestellt werden, mit der der zweite Würfel den Wert 2 aufweist, während der erste Würfel unberücksichtigt bleibt.

(6.17)

Die Funktionen aus Gleichung (6.15) und Gleichung (6.17) stellen eine eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung dar. Sie werden als Randverteilung der Variablen x beziehungsweise y bezüglich der gegebenen zweidimensionalen Verteilung bezeichnet. Durch Summation ergeben sich die zugehörigen Verteilungsfunktionen der Randverteilungen

(6.18)

und

(6.19)

Für das Beispiel aus Abschnitt 6.1.1 ergeben sich die in Tabelle 6.1 aufgelisteten Werte für die Wahrscheinlichkeiten f(x,y) der Wertepaare und die entsprechenden Werte der Randverteilungen.

Tabelle 6.1: Wahrscheinlichkeitsfunktionen f(x) und f(y) der Randverteilungen
  x: Würfel 1 f(y)
1 2 3 4 5 6
y: Würfel 2 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
f(x) 6/36 6/36 6/36 6/36 6/36 6/36 1

Es soll die Frage untersucht werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei dem ersten Würfel eine Zahl kleiner oder gleich 5 gewürfelt wird, wenn Würfel 2 unberücksichtigt bleibt. Diese Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu

(6.20)

Für den stetigen Fall folgt äquivalent für die Wahrscheinlichkeitsdichte

(6.21)

und

(6.22)

Als Bestimmungsgleichung für die Verteilungsfunktion ergeben sich

(6.23)

und

(6.24)

Die Randverteilungen einer stetigen Verteilung sind ebenfalls stetig.

Für den Fall multivariater Datensätze mit mehr als zwei Dimensionen ergeben sich m eindimensionale Randverteilungen, die jeweils nur von einer Zufallsvariable abhängen. Mit ihnen können oftmals mehrdimensionale Fragestellungen in mehrere univariate Teilprobleme zerlegt werden.