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Gemeinsame Verteilungs- und Dichtefunktionen

Stetige Verteilungen

Ein Zufallsvektor X heißt stetig, wenn es eine Dichtefunktion

(6.8)

mit der Verteilungsfunktion

(6.9)

gibt. Dabei muss f(X) in der ganzen Ebene definiert, nicht negativ und beschränkt sein. Die zu einem Bereich a1 < x1 ≤ b1 ,…, am < xm ≤ bm gehörige Wahrscheinlichkeit ist dann durch

(6.10)

gegeben.

Beispiel: Fertigung von Passstiften

Die stetige multivariate Verteilung soll anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Hierzu wird die Fertigung von Passstiften in einer automatisierten Fertigungseinrichtung betrachtet. Die Passstifte werden durch ihren Durchmesser D und ihre Länge L definiert. Die Fertigung ist auf einen Sollwert des Durchmessers von D = 5 mm und eine Länge von L = 19 mm eingestellt.

Durch den Verschleiß des Schneidewerkzeuges variieren die tatsächlichen Werte der Passstifte zwischen in einem Bereich von ± 1 mm um den spezifizierten Sollwert. Durch den gleichmäßigen Verschleiß des Schneidewerkzeugs kann der Durchmesser D und die Länge L der gefertigten Passstifte mit einer multivariaten Gleichverteilung beschrieben werden. Jeder Wert in den Intervallen 4 mm < D ≤ 6 mm und 18 mm < L ≤ 20 mm kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Es soll ermittelt werden, wie viel Ausschuss die Fertigungseinrichtung liefert, wenn eine Toleranzspanne von ± 5 % für den Durchmesser D und die Länge L zugelassen wird.

Entsprechend der Beschreibung der Fertigungseinrichtung wird die Dichteverteilung f(D,L) beschrieben durch

(6.11)

Bild 6.3 zeigt die durch Gleichung (6.11) definierte Dichteverteilung f(D,L).

 

Bild 6.3: Grafische Darstellung der Dichtefunktion f(D,L)

Mit Gleichung (6.9) kann die Verteilungsfunktion F(D,L) aufgestellt werden.

(6.12)

Daraus folgt die in Bild 6.4 dargestellte Verteilungsfunktion F(D,L).

 

Bild 6.4: Grafische Darstellung der Verteilungsfunktion F(D,L)

Mithilfe der Verteilungsfunktion aus Gleichung (6.12) kann berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit P bei der untersuchten Fertigung die produzierten Passstifte in einem spezifizierten Toleranzbereich von ± 5 % um den spezifizierten Durchmessers von D = 5 mm und die spezifizierte Länge von  L = 19 mm liegen.

Statt der räumlichen Darstellung in Bild 6.4 wird zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit ein Kontur-Plot verwendet, der die Werte die Funktionswerte auf eine Ebene projiziert. Bild 6.5 zeigt die Verteilungsfunktion aus Bild 6.4 als Kontur-Plot.

Bild 6.5: Kontur-Plot der Verteilungsfunktion F(D,L)

Die Wahrscheinlichkeit P, mit der die gefertigten Passstiften in dem definierten Toleranzbereich liegen, folgt damit zu

(6.13)

Daraus ergibt sich ein prozentuale Ausschuss von

(6.14)

Der Ausschussanteil der Fertigung liegt bei 76.25 %, lediglich 23.75 % der gefertigten Passstifte entsprechen den spezifizierten Qualitätsanforderungen.