Die stetige multivariate Verteilung soll anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Hierzu wird die Fertigung von Passstiften in einer automatisierten Fertigungseinrichtung betrachtet. Die Passstifte werden durch ihren Durchmesser D und ihre Länge L definiert. Die Fertigung ist auf einen Sollwert des Durchmessers von D = 5 mm und eine Länge von L = 19 mm eingestellt.
Durch den Verschleiß des Schneidewerkzeuges variieren die tatsächlichen Werte der Passstifte zwischen in einem Bereich von ± 1 mm um den spezifizierten Sollwert. Durch den gleichmäßigen Verschleiß des Schneidewerkzeugs kann der Durchmesser D und die Länge L der gefertigten Passstifte mit einer multivariaten Gleichverteilung beschrieben werden. Jeder Wert in den Intervallen 4 mm < D ≤ 6 mm und 18 mm < L ≤ 20 mm kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor. Es soll ermittelt werden, wie viel Ausschuss die Fertigungseinrichtung liefert, wenn eine Toleranzspanne von ± 5 % für den Durchmesser D und die Länge L zugelassen wird.
Entsprechend der Beschreibung der Fertigungseinrichtung wird die Dichteverteilung f(D,L) beschrieben durch
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(6.11) |
Bild 6.3 zeigt die durch Gleichung (6.11) definierte Dichteverteilung f(D,L).
Bild 6.3: Grafische Darstellung der Dichtefunktion f(D,L)
Mit Gleichung (6.9) kann die Verteilungsfunktion F(D,L) aufgestellt werden.
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(6.12) |
Daraus folgt die in Bild 6.4 dargestellte Verteilungsfunktion F(D,L).
Bild 6.4: Grafische Darstellung der Verteilungsfunktion F(D,L)
Mithilfe der Verteilungsfunktion aus Gleichung (6.12) kann berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit P bei der untersuchten Fertigung die produzierten Passstifte in einem spezifizierten Toleranzbereich von ± 5 % um den spezifizierten Durchmessers von D = 5 mm und die spezifizierte Länge von L = 19 mm liegen.
Statt der räumlichen Darstellung in Bild 6.4 wird zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit ein Kontur-Plot verwendet, der die Werte die Funktionswerte auf eine Ebene projiziert. Bild 6.5 zeigt die Verteilungsfunktion aus Bild 6.4 als Kontur-Plot.
Bild 6.5: Kontur-Plot der Verteilungsfunktion F(D,L)
Die Wahrscheinlichkeit P, mit der die gefertigten Passstiften in dem definierten Toleranzbereich liegen, folgt damit zu
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(6.13) |
Daraus ergibt sich ein prozentuale Ausschuss von
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(6.14) |
Der Ausschussanteil der Fertigung liegt bei 76.25 %, lediglich 23.75 % der gefertigten Passstifte entsprechen den spezifizierten Qualitätsanforderungen.
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