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Spezielle multivariate Verteilungen

Abschließend werden mit der Multinomial-Verteilung für diskrete Variablen und der multivariaten Normalverteilung für stetige Variablen die beiden wichtigsten multivariaten Verteilungen eingeführt.

Multinomial-Verteilung

Die Multinomial-Verteilung ergibt sich als Verallgemeinerung der Binomial-Verteilung. Wenn für einen Zufallsprozess m sich gegenseitig ausschließende Ausgänge möglich sind und der Zufallsprozess n-mal unabhängig wiederholt wird, können die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Multinomial-Verteilung berechnet werden. Dabei hat jedes mögliche Ereignis x1, …, xm eine Auftretenswahrscheinlichkeit von p1, …, pm. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion eines multinomialverteilten Zufallsvektors

(6.108)

ist dabei definiert durch

(6.109)

Die durch Gleichung (6.109) definierte Multinomial-Verteilung für zwei Dimensionen mit p1=1/2, p2=1/3 und p3=1/6 bei n = 10 Wiederholungen ist in Bild 6.11 zu sehen.

Bild 6.11: Grafische Darstellung der zweidimensionalen Multinomial-Verteilung mit p1=1/2, p2=1/3 und p3=1/6

Für den Spezialfall von m = 2 führt Gleichung (6.109) zu der aus Kapitel 4 bekannten Binomial-Verteilung, die durch die Gleichung

(6.110)

beschrieben ist. Die Wahrscheinlichkeit für eine durch den Vektor X gekennzeichnete Wertekombination berechnet sich durch

(6.111)

Das Zufallsexperiment wird n-mal ausgeführt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für eine Anzahl von Ereignissen

(6.112)

Die Verteilungsfunktion der Multinomial-Verteilung ergibt sich durch Summation über die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu

(6.113)

Die Randverteilungen der Multinomial-Verteilung entsprechen den Binomialverteilungen der entsprechenden Variablen. Die Anwendung der Multinomial-Verteilung soll anhand eines Beispiels verdeutlicht werden.

Beispiel: Schaltschrankfertigung

Als Beispiel für eine Multinomial-Verteilung wird eine Schaltschrankfertigung betrachtet. In einer Woche werden an vier Montageplätzen jeweils ein Schaltschranke hergestellt und geprüft. Es ist bekannt, dass die Schaltschränke mit einer Wahrscheinlichkeit von p1 = 0.85 vollständig funktionstüchtig sind, mit einer Wahrscheinlichkeit von p2 = 0.1 während der Prüfung geringfügig nachgearbeitet werden müssen und mit einer Wahrscheinlichkeit von p3 = 0.05 in der folgenden Woche nachgearbeitet werden müssen und nicht termingerecht ausgeliefert werden können.

Im Folgenden wird die Verteilung der Schaltschrankqualität beschrieben. Die Zufallsvariable x1 beschreibt die Anzahl vollständig funktionstüchtiger Schaltschränke, die Zufallsvariable x2 die Anzahl der geringfügig nachzuarbeitender Schaltschränke und die Zufallsvariable x3 die Anzahl der nicht termingerecht auslieferbaren Schaltschränke.

Die Gleichung zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen möglichen Ausgänge des Zufallsexperimentes lassen sich mit Gleichung (6.111) in den Grenzen

(6.114)

berechnen. In diesem Beispiel kann jede Variable demnach in dem Bereich xi = 0 … 4 variieren. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kombination errechnet sich zu

(6.115)

Mit den Zufallsgrößen x1, x2 und der Beziehung x3= n - x1 - x2 ist es ausreichend, zwei der drei möglichen Ergebnisse der Zufallsexperimente anzugeben. Die dritte Zufallsvariable ist linear abhängig. Es ergeben sich nach Gleichung (6.115) in Tabelle 6.8 zusammenfassten Wahrscheinlichkeiten. Zusätzlich zu den Auftretenswahrscheinlichkeiten sind in Tabelle 6.8 noch die Zeilen- und Spaltensummen eingetragen, die den Randverteilungen der Zufallsvariablen x1 und x2 entsprechen. Diese genügen der Binomialverteilung, die bereits aus Kapitel 4 bekannt ist.

Tabelle 6.8: Wahrscheinlichkeiten des Zufallsexperimentes Schaltschrankbau
  Zufallsvariable x 2 f(x 1 )
0 1 2 3 4
Zufalls-variable x 1 0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.000 0.003 0.005 0.003 0 0.011
2 0.011 0.043 0.043 0 0 0.097
3 0.123 0.246 0 0 0 0.369
4 0.522 0 0 0 0 0.522
f(x 2 ) 0.656 0.292 0.048 0.003 0.000 1

Die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einer bestimmten Anzahl x1 von vollständig funktionsfähigen und einer bestimmten Anzahl x2 von geringfügig nachzuarbeitenden Schaltschränken lassen sich grafisch darstellen. Dies ist in Bild 6.12 zu sehen.

Bild 6.12: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeiten aus Tabelle 6.8

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Schaltschränke termingerecht ausgeliefert werden können, ergibt sich aus den Fällen, in denen die Summe der beiden Zufallsvariablen x1 und x2 bereits 4 ergibt. Nach Tabelle 6.8 ergibt sich die Wahrscheinlichkeit

(6.116)

Die Berechnung erfolgte dabei mit MATLAB durch den folgenden Programmabschnitt.