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Unabhängige Zufallsvariablen

In vielen Fällen vereinfacht sich die Lösung multivariater Aufgabenstellungen, wenn von unabhängigen Zufallsvariablen ausgegangen werden kann. In der Praxis ist dies oftmals zumindest in guter Näherung gegeben. Aus diesem Grund werden im Folgenden Eigenschaften unabhängiger Variablen näher untersucht.

Verteilungen unabhängiger Zufallsvariablen

In Abschnitt 2.4.2 Sätze zur Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Kolmogoroff wird die Unabhängigkeit von Ereignissen diskutiert. Es wird gezeigt, dass bei unabhängigen Ereignissen die folgende Beziehung gilt.

(6.69)

Auf gleiche Weise kann die Unabhängigkeit bei Zufallsvariablen ausgedrückt werden. Zwei Zufallsvariablen x und y einer zweidimensionalen Verteilung mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion F(x,y) sind voneinander unabhängig, wenn für alle möglichen Kombinationen von x und y die Beziehung gilt

(6.70)

Ist diese Bedingung nicht für alle Fälle erfüllt, sind die Zufallsvariablen abhängig. In Analogie zu Gleichung (6.70) kann die Bedingung für die Unabhängigkeit von zwei Variablen nach den Rechenregeln zur Integralrechnung auch durch die Beziehung

(6.71)

ausgedrückt werden. Dies kann entsprechend auf den multivariaten Fall verallgemeinert werden. Die Bedingung für die Unabhängigkeit kann hierbei durch die Beziehung

(6.72)

beziehungsweise

(6.73)

bewertet werden.

Beispiel: Ziehen von verschiedenfarbigen Kugeln

An einem Beispiel soll geprüft werden, ob es sich bei den verwendeten Zufallsvariablen um unabhängige Zufallsvariablen handelt. Hierzu wird angenommen, dass in einer Urne zehn Kugeln liegen. Vier Kugeln haben die Farbe Blau, die restlichen Kugeln sind rot. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, die zuerst gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

Im Folgenden werden die Zufallsvariablen x und y betrachtet. Die Zufallsvariable x repräsentiert die Zahl der blauen Kugeln beim ersten Zug, die Zufallsvariable y die Anzahl blauer Kugeln beim zweiten Zug. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktionen können anhand der Häufigkeiten berechnet werden. Diese sind in Tabelle 6.5 zusammengefasst.

Tabelle 6.5: Wahrscheinlichkeiten des Zufallsexperimentes
  Zug 1
blaue Kugel (x = 1) rote Kugel (x = 0)
Zug 2 blaue Kugel (y = 1)
rote Kugel (y = 0)

Zur Überprüfung der Unabhängigkeit müssen die Werte der Randverteilungen berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Zug keine blaue Kugel gezogen wird, berechnet sich zu

(6.74)

und die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Zug keine blaue Kugel gezogen wird, ergibt sich zu

(6.75)

Damit ergibt sich bei unabhängigen Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine rote Kugel zu ziehen, durch die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der Randverteilungen aus Gleichung (6.74) und Gleichung (6.75) zu

(6.76)

Der Vergleich mit Tabelle 4.4 zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis 0.33 beträgt. Damit gilt zumindest für ein Wertepaar die Beziehung

(6.77)

Die Variablen sind demnach abhängig. Die Ursache liegt darin, dass die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen, durch den ersten Zug verändert wird. Würde die Kugel des ersten Zuges zurück in die Urne gelegt, gäbe es keine Veränderung der Wahrscheinlichkeit gegenüber der Ausgangsposition. Die Zufallsgrößen wären in diesem Fall unabhängig.