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Zentraler Grenzwertsatz

Nach dem zentralen Grenzwertsatz besitzt eine Zufallsvariable, die sich aus der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen ergibt, eine Normalverteilung. Zum Beweis wird von den Zufallsvariablen x1, ..., xm ausgegangen, die alle denselben Mittelwert µ und dieselbe Varianz σ2 aufweisen. Die Zufallsvariable y, die sich aus der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ergibt

(6.103)

hat nach Gleichung (6.101) den Mittelwert µy = m·µ und nach Gleichung (6.102) die Varianz σy² = m·σ2. Sind die Variablen x1, ..., xm normalverteilt, ist auch die Variable y normalverteilt und die Zufallsvariable

(6.104)

weist eine Standardnormalverteilung auf. Sind die Variablen nicht normalverteilt, so ist die Zufallsvariable z aus Gleichung (6.104) für eine große Anzahl m von Summanden asymptotisch standardnormalverteilt. Diese wichtige Beziehung wird als zentraler Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet. Er ist der wesentliche Grund für die große Bedeutung der Normalverteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Statt eines Beweises wird der zentrale Grenzwertsatz grafisch motiviert. Als Basis werden Variablen xi mit einer Gleichverteilung in einem Bereich von - 0.2 … 0.2 verwendet. Sie besitzen eine Gleichverteilung mit einem Mittelwert µ = 0 und einer Varianz σ2 = 0.0133.

Die Zufallsvariable y ist die Summe der Stichprobenwerte xi.

(6.105)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen ergibt sich nach Gleichung (6.90) aus der Faltung der einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichten.

(6.106)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(y) hängt davon ab, wie viele Faltungen stattgefunden haben. Bild 6.9 stellt die Wahrscheinlichkeitsdichten für unterschiedliche Anzahlen m von Zufallsvariablen dar.

Bild 6.9: Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen y bei unterschiedlichen Stichprobenumfängen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(y) wird mit steigendem m breiter und nähert sich in ihrer Form der Standardnormalverteilung zunehmend an. In Bild 6.10 wird für m = 25 die Verteilung der Zufallsvariable

(6.107)

mit einer Standardnormalverteilung verglichen.

 

Bild 6.10: Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariabel z im Vergleich zur Standardnormalverteilung

Es zeigt sich eine gute grafische Übereinstimmung der beiden Wahrscheinlichkeitsdichten, sodass das Beispiel den zentralen Grenzwertsatz grafisch bestätigt. Die Güte der Übereinstimmung ist von der Anzahl der Stichproben m abhängig. Wie groß die Anzahl erforderlicher Stichproben m ist, um eine ausreichend gute Näherung der Standardnormalverteilung zu erhalten, kann nicht pauschal beantwortet werden. Die Anzahl notwendiger Stichproben ist von der Wahrscheinlichkeitsdichte f(xi) der Zufallsvariablen xi und der Aufgabenstellung abhängig. In dem Beispiel zeigt sich für m = 25 eine gute Übereinstimmung, in der Literatur wird der Wert m = 30 für eine gute Approximation angegeben. Oft reichen aber auch bereits erheblich weniger Stichproben aus, um mit der Normalverteilung rechnen zu können.

Der zentrale Grenzwertsatz gilt auch bei mehrdimensionalen Zufallsvektoren. Hierbei nähert sich die Dichtefunktion der Summe an die in Abschnitt 6.7.2 vorgestellte multivariate Normalverteilung an.