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Erwartungswerte von Verteilungen

Der Erwartungswert E(x) der Zufallsvariablen x entspricht dem Wert, der sich bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Zufallsexperiments im Mittel einstellt. Durch den Erwartungswert E(x) wird später die Lage der vorliegenden Verteilung beschrieben. Der Erwartungswert kann aber nicht nur von der Zufallsvariablen x bestimmt werden, sondern auch von Funktionen von Zufallsvariablen g(x). Der Erwartungswert eignet sich damit zur Bestimmung von Kenngrößen einer Verteilung. Dieser Zusammenhang wird in Abschnitten 4.3 gezeigt.

Definition des Erwartungswert-Operators

Für eine beliebige Zufallsvariable x und eine für alle Werte von x definierte reellwertige Funktion y = g(x) der Zufallsvariablen x wird der Ausdruck

(4.22)

beziehungsweise

(4.23)

als mathematischer Erwartungswert der Funktion g(x) oder als Erwartung von g(x) bezeichnet. Dabei wird die Konvergenz der Summe beziehungsweise des Integrals vorausgesetzt.

Beispiel: Glücksspiel mit Würfeln

Zwei Personen A und B spielen das folgende Spiel: A würfelt mit einem regelmäßigen Würfel und erhält von B

  • 10 Cent für eine Eins oder Zwei,
  • 20 Cent für eine Drei oder Vier,
  • 40 Cent für eine Fünf und
  • 80 Cent für eine Sechs.

Spieler A soll an Spieler B vor jedem Spiel einen Betrag von 50 Cent zahlen. Um zu überprüfen, ob Spieler A bei mehreren Spielen einen Gewinn erzielt, muss die durchschnittliche Gewinnerwartung pro Spiel berechnet werden. Die durchschnittliche Gewinnerwartung ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln, und dem zugeordneten Gewinn. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, 1/6, und der zugehörige Gewinn beträgt 10 Cent.

Zur Berechnung wird eine Zufallsvariable x definiert, die die beim Wurf des Würfels erzielte Augenzahl darstellt. In Tabelle 4.4 ist jedem möglichen Wert der Zufallsvariablen x der Gewinn von A zugeordnet. Er bildet die Funktion g(x).

Tabelle 4.4: Zuordnung des Gewinns g(x) zur Zufallsvariablen x
x 1 2 3 4 5 6
g(x) 10 10 20 20 40 80

Da die Werte von x vom Zufall abhängen, gilt dies auch für den Wert, den g(x) bei einem Spiel jeweils annimmt. Die Funktion g(x) der Zufallsvariable x ist also selbst eine Zufallsvariable y = g(x). In diesem Beispiel beträgt die durchschnittliche Gewinnerwartung

(4.24)

Die durchschnittliche Gewinnerwartung pro Spiel ist mit 30 Cent geringer als der Spieleinsatz von 50 Cent. Spieler A wird bei mehreren Spieldurchgängen demnach Geld verlieren.