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Kennwerte von Verteilungen

Bei der beschreibenden Statistik werden vorliegende Daten aus Stichproben analysiert. Dabei werden für die konkreten Daten Häufigkeitsverteilungen bestimmt sowie empirische Kenngrößen für die Lage, die Streuung und die Symmetrie berechnet. Diese Kenngrößen lassen sich auch für Verteilungen mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen. Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik werden bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung alle theoretisch möglichen Werte der Zufallsvariablen ausgewertet. Deshalb werden die Kennwerte auch als theoretische Kennwerte bezeichnet.

Momente und Zentralmomente einer Verteilung

Kennwerte von Verteilungen können als Moment beziehungsweise als Zentralmoment der Ordnung k berechnet werden. Das k-te Moment einer Verteilung oder der Zufallsvariable x ist definiert als der Erwartungswert der Funktion

(4.35)

Für diskrete Verteilungen ergibt sich

(4.36)

und für stetige Verteilungen berechnet sich das k-te Moment zu

(4.37)

Der Erwartungswert der Funktion

(4.38)

führt zu dem k-ten Zentralmoment. Dabei ist ยต der arithmetische Mittelwert der Verteilung, auf ihn wird in Abschnitt 4.3.2 detailliert eingegangen. Für diskrete Verteilungen berechnet sich das k-te Zentralmoment aus

(4.39)

und für stetige Verteilungen aus

(4.40)

Aufgrund der Linearität des Erwartungswertes kann die Berechnung des Zentralmomentes auf die Berechnung des Momentes zurückgeführt werden. Zum Beispiel ergibt sich für das zweite Zentralmoment

(4.41)

Entsprechend können höhere Zentralmomente umgeformt werden. Für das dritte Zentralmoment ergibt sich mit den Rechenregeln des Erwartungswertes

(4.42)