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Spezielle diskrete Verteilungen

Viele diskrete Fragestellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mit wenigen speziellen, diskreten Verteilungen beschreiben. Sie ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und werden im Folgenden beschrieben.

Diskrete Gleichverteilung

Weisen bei einem Zufallsexperiment alle möglichen Werte xn der Zufallsvariable x die gleiche Wahrscheinlichkeit p auf, ergibt sich aus der Bedingung für das sichere Ereignis

(4.114)

Damit lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung

(4.115)

und die Verteilungsfunktion berechnet sich zu

(4.116)

Zum Beispiel sind bei einem Würfelexperiment mit einem regelmäßigen Würfel die Wahrscheinlichkeiten für eine beliebige Augenzahl mit

(4.117)

gleichverteilt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion der Gleichverteilung sind in Bild 4.9 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) ist konstant, die Verteilungsfunktion F(x) nimmt an jeder Stelle, an der ein möglicher Wert der Zufallsvariable steht, zu.

Bild 4.9: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und Verteilungsfunktion F(x) für das Würfeln einer Augenzahl x

Der Mittelwert der Gleichverteilung errechnet sich aus

(4.118)

und die Varianz ergibt sich zu

(4.119)

Beispiel: Bewertung zweier Anlagemöglichkeiten

Dem Kunden einer Bank werden zur Geldanlage zwei mögliche Anlagestrategien angeboten. Als konventionelle Variante steht eine Festgeldanlage mit einer festen Verzinsung von jährlich 3.33 % zur Verfügung. Als weitere Anlagevariante wird dem Kunden ein Modell auf Basis von Wertpapieren angeboten. Dabei wird in Abhängigkeit eines Wirtschaftsindex ein Zinssatz von 1.5, 2.5 oder 5 % ausgezahlt. Da über den Verlauf des Wirtschaftsindex für das Anlagejahr keine Vorhersagen getroffen werden können, haben alle drei möglichen Zinsbeträge eine gleich hohe Wahrscheinlichkeit, sie sind somit gleichverteilt. Bild 4.10 zeigt die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und die Verteilungsfunktion F(x).

Bild 4.10: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und Verteilungsfunktion F(x) für die Verzinsung bei Wertpapieren

Um zu entscheiden, bei welcher Anlagevariante mit höheren Zinserträgen gerechnet werden kann, wird der Erwartungswert beziehungsweise der Mittelwert der zweiten Anlagevariante bestimmt. Dieser folgt zu

(4.120)

Im Mittel wird der Kunde bei der Anlagevariante auf Basis des Wirtschaftsindex eine jährliche Verzinsung von 3 % erhalten. Da die mittlere Zinserwartung bei höherem Risiko geringer ist als bei der Festgeld-Anlage, ist die Festgeld-Anlage zu bevorzugen.

Die Erstellung von Bild 4.10 und die Berechnung des Mittelwertes wurde mit MATLAB durchgeführt.