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Spezielle stetige Verteilungen

Die Beschreibung stetiger Zufallsgrößen erfolgt durch stetige Verteilungen. Dazu sind in den folgenden Abschnitten spezielle stetige Verteilungen aufgeführt.

Stetige Gleichverteilung

Analog zu den diskreten Verteilungen wird als einfachstes Beispiel die stetige Gleichverteilung definiert. Sie weist in einem Intervall von a bis b eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = k auf, außerhalb dieses Intervalls ist die Wahrscheinlichkeitsdichte null. Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist

(4.130)

Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)

(4.131)

Durch Integration ergibt sich eine Verteilungsfunktion von

(4.132)

Bild 4.14 stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) einer stetigen Gleichverteilung dar.

Bild 4.14: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) für eine Gleichverteilung

Der Mittelwert einer Gleichverteilung ergibt sich zu

(4.133)

Die Varianz einer Gleichverteilung berechnet sich zu

(4.134)

Typische Anwendungsgebiete sind die Berechnung von durchschnittlichen Wartezeiten bei Transportprozessen oder Bedienungssystemen sowie die statistische Beschreibung von Diskretisierungsvorgängen.

Beispiel: Effektivwert des Quantisierungsrauschens eines A/D-Wandlers

Um ein analoges Eingangssignal UE in ein digitales Ausgangssignal UADC zu wandeln, wird das zeitkontinuierliche Signal quantisiert. Die Quantisierung in diskrete Amplitudenwerte erfolgt dabei durch einen Analog-Digital-Wandler mit einer Auflösung von N Bit. Durch die damit festgelegte, endliche Anzahl von 2N Quantisierungsstufen entsteht ein Fehler, der als Quantisierungsrauschen q aufgefasst werden kann. Bild 4.15 zeigt zwei Quantisierungsstufen und einen Eingangsspannungswert Ue.

Bild 4.15: Quantisierung eines Eingangssignals UE durch einen Analog-Digital-Wandler

Die Höhe einer Quantisierungsstufe DU wird bei einem Analog-Digital-Wandler durch die Anzahl der Quantisierungsstufen und den Messbereich UMAX definiert durch

(4.135)

Der Signalwert UE wird durch den Analog-Digital-Wandler entweder auf den Wert n⋅ΔU oder auf den Wert (n + 1)⋅ΔU quantisiert. Dadurch ist der Fehler q in dem Intervall - ΔU/2 ≤ q ≤ ΔU/2 gleichverteilt mit der Wahrscheinlichkeit

(4.136)

Zur Bewertung des Fehlers wird oft der Effektivwert des Quantisierungsrauschens herangezogen. Der Effektivwert einer Zufallsgröße ist allgemein als die Wurzel aus dem Erwartungswert des Quadrates der Zufallszahl definiert. Für das Quantisierungsrauschen folgt mit den Rechenregeln zum Erwartungswert

(4.137)

Für die Gleichverteilung des Quantisierungsrauschen berechnet sich der Mittelwert zu

(4.138)

Die Varianz folgt zu

(4.139)

Damit ergibt sich der Effektivwert des Quantisierungsrauschens eines Analog-Digital-Wandlers zu

(4.140)

Der Effektivwert des Quantisierungsrauschens eines Analog-Digital-Wandlers kann damit aus den technischen Daten ermittelt werden.